蝴蝶效應之-- 臨界狀態

談到「混沌理論 chaos」,總是離不開「蝴蝶效應 butterfly effect」。可惜一般人對「蝴蝶效應」都有誤解,以為當一隻蝴蝶在香港舞動翅膀,可能導致美國在數週後下起大雷雨。事實上,蝴蝶舞動翅膀並不是導致大雷雨的主因,它只是一個導火線。「蝴蝶效應」真實版本是要說明當蝴蝶舞動翅膀所產生的氣流,會迅速改變未來的細節 (如空氣分子的位置或速度),從而變得跟蝴蝶沒有拍打翅膀時的情況不同,因此「混沌」並非解釋大雷雨形成(劇變)的答案。哪麼是什麼原因導致大雷雨這類的劇變發生?


在上一篇有關「小世界理論」的文章中我所介紹的維吉尼亞大學的物理學家Mark Buchanan,在他另一著作《Ubiguity : Why Catastrophes Happen?》中揭示了延續「混沌」的新理論 ---- 「臨界狀態 critical state」。所謂的「臨界狀態」就是指一個系統處於平衡與非平衡之間的狀態,就好像一個足球放在尖形屋頂的頂端,足球隨時會滾向左邊,但也有相同機率滾向右邊,但在事前就是無法預測它會滾向哪一邊。「臨界狀態」實質上是屬於「非平衡物理學non-equilibrium physics」,或說是新興「複雜理論complexity」的第一個產物。在非平衡的狀態下,由事物所形成的交互作用系統經常存有一種自然的數學模式 ---- 「冪次定律power law」。「冪次定律」是兩個變數之間的數學關係,不是正比,亦非反比,而是一種指數次方的關係,例如:


f = v -2


從以上公式可看到「f」與「v」兩個變數之間存有「-2」次方的冪次定律,而任何出現「冪次定律」的系統,都會存有「臨界狀態」。在稍後的篇幅將會看到這種冪次定律的數學模式經常會出現在我們的日常生活當中,無論是流動沙堆、股票市場、森林大火、地震模式、人口分佈以及是歷史本身,都會找到冪次定律的蹤影。




堆沙遊戲

1987年,三位物理學家Per Bak、Chao Tang 及Kurt Weisenfeld想知道如果有人每次把一粒沙撒在桌面上,最後形成出來的沙堆將會有何特性。他們利用電腦模擬來做研究,發現當沙堆累積到足夠高的時候,沙堆的斜坡面將會處於「臨界狀態」,即使是一小粒的沙粒落在這個斜坡面上時,都會造成一次大規模的沙崩,而使沙堆的高度再次變小。不過,當不斷再添加更多沙粒時,沙堆又再次變高,而斜坡面亦再次趨向「臨界狀態」,形成一種沙堆變大變小的交替模式。而沙堆自動趨向「臨界狀態」的特性被稱為「自組臨界狀態」。但最驚人之處卻是這三位物理學家在堆沙遊戲中竟然發現「冪次定律」,就是每當在沙崩中被牽動的沙粒數目增為2倍時,出現這類沙崩的次數將會降為1 / 2.14,數學表達即是:


f = N –1.1


f 為出現沙崩的次數

N 為沙崩中被牽動的沙粒數目


這種沙堆的「冪次定律」告訴我們,任何規模的沙崩都有可能發生,只是小規模比大規模的發生較多,而且任何規模的沙崩都是由同一個原因引發 --- 一粒小沙。因此並不是有什麼特別因素導致大規模沙崩,無論是大規模還是小規模都是尋常的事。大規模沙崩只是小規模沙崩的放大版本罷了,因此「冪次定律」正暗示著一種「自我相似性self-similarity」,也就是數學裡的「碎形fractal」。在堆沙遊戲中我們再次看到「冪次定律」與「臨界狀態」的親密關係。


堆沙遊戲最諷刺的地方是真實的沙堆並不符合「冪次定律」,因為那三位物理學家在設定電腦程式時,高估了沙粒的黏性,因此出來的結果並不適用於沙粒,反而適用於黏性較高的米粒。



蕃薯實驗

1993年三位來自南丹麥大學的物理學家以真實的實驗來重複堆沙遊戲,但今次用的不是沙粒,而是蕃薯。他們把冰凍了的蕃薯用力丟向牆壁,凍蕃薯應聲碎裂成很多的碎塊,有大有小。他們細心檢視這些碎塊,按重量把碎塊分成數堆。最後他們也發現當中的「冪次定律」,就是每當碎塊重量增為2倍時,出現這類碎塊的數目將會降為1 / 6,數學表達即是:


f = w –2.58


f 為碎塊的數目

w 為碎塊的重量


你可能會懷疑這些出現「冪次定律」的情況是否一種巧合,那就讓我們看更多日常生活中的例子吧。



地震

當地震所釋放的能量增為2倍時,出現這類規模的地震數目將會降為1 / 4,數學表達即是:


f = E –2


f 為地震的數目

E 為地震所釋放的能量







森林大火

當火災面積增為2倍時,出現這類規模的火災數目將會降為1 / 2.48,數學表達即是:


f = A –1.31


f 為火災的數目

A 為火災面積



城市人口

當城市人口增為2倍時,出現這類規模的城市數目將會降為1 / 4,數學表達即是:


f = M –2


f 為城市的數目

M 為城市人口
股市

當股市變動幅度增為2倍時,出現這類幅度的股市變動次數將會降為1 / 16,數學表達即是:


f = h –4


f 為股市變動的次數

h 為股市變動幅度



個人財富

當個人財富增為2倍時,擁有這些財富的人數將會降為1 / 4,數學表達即是:


f = c –2


f 為人數

c 為個人財富



物種滅絕

當物種滅絕的規模增為2倍時,出現這類規模的滅絕次數將會降為1 / 4,數學表達即是:


f = P –2


f 為滅絕的次數

P 為物種滅絕的規模



戰爭

當戰爭中的死亡人數比率增為2倍時,出現這類規模的戰爭數目將會降為1 / 2.62,數學表達即是:


f = d –2


f 為戰爭的數目

d 為戰爭中的死亡人數比率


從以上資料分析,「冪次定律」隨處可見,無論是自然界還是人類社會都確實存有簡單的數學模式。「冪次定律」背後正反映「臨界狀態」的存在,而任何達到「臨界狀態」的系統,其細節並不重要,重要的是所有「臨界狀態」的系統都會有相同的運作方式,也就是「冪次定律」本身。處於「臨界狀態」的系統,只要系統裡某成員在正確的時機落在正確的位置上,就足以導致一次大規模的劇變,而這種劇變是不可預測的。在事前,你只能透過「冪次定律」知道發生某規模的劇變的機率,但總不能預知下次發生劇變的時間、地點及規模。因此,無論是地震、森林大火、股市價格、人口分佈、物種滅絕及戰爭本身等都是無法準確預測的。\r


戰爭就是人類歷史中劇變的事例,而戰爭裡卻存有「冪次定律」,亦即是人類歷史這系統也存有「臨界狀態」。其實要導致一場戰爭的爆發,絕非一朝一夕的事,而是經過無數原因的長時間累積的結果。這些因素可以是政治的變革、國與國的矛盾、市民的壓抑、民族的紛爭等等,當這些因素在日積月累的壓力下而又沒有適當的減壓措施,就會把社會或國家逐漸推向「臨界狀態」,只要這時候出現小小的導火線的話,戰爭將隨時爆發,更可能一發不可收拾。事實上,第一次世界大戰的爆發,就是因一名轎車司機轉錯了彎而駛入一條死巷,當時轎車上的乘客正時奧匈帝國的政治人物斐迪南大公,處身於死巷裡的斐迪南大公卻成為塞爾維亞恐怖組織的獵殺目標,這次暗殺行動卻引致歐洲政治結構的瓦解,也就是第一次世界大戰的導火線。當然,我們不能把第一次世界大戰的起因全都賴在這名轎車司機身上,首先歐洲政治體制本身因其他複雜的因素 (歷史學家到目前為止仍沒有共識) 而一早處於「臨界狀態」的邊緣,而「轉錯彎」只是一個引爆點,真正引發戰爭的幕後黑手卻是「臨界狀態」的不平衡結構。至於社會在何時會達至「臨界狀態」,這是沒有客觀的標準,因此戰爭的爆發是無法預測的。不少的歷史學家開始發現物理學家這種的「臨界思考」很多時候都有助於他們分析歷史,因此出現了一門新興的學派稱為「歷史物理學historical physics」,就是把非平衡物理學的思考模式套用在歷史研究上。而這種「歷史物理學」更可應用在股市的分析、生態的平衡、人口的分佈以及地震的成因等。


現在可以回到起初的問題:如果不是因蝴蝶拍打翅膀而導致大雷雨的發生,哪麼是什麼原因呢? 答案就是「臨界狀態」。只有當大氣系統處於極不穩定的「臨界狀態」下,蝴蝶拍打翅膀所導致的微擾才能引發大雷雨,因此蝴蝶拍打翅膀只是導火線,「臨界狀態」才是真正的主因。




「混沌:真正簡單的事物在表面上可能很複雜。」

「臨界狀態:真正複雜的事物在內裡可能很簡單。」
给予那些失去自由的灵魂们以永恒的一夜,阿门!

这个……只能说深奥的已经出水了
南越杀我汉使者,屠为九郡;
宛王我杀汉使者,头县北阙;
朝鲜我杀汉使者,即时诛灭。
犯我强汉者,虽远必诛!

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